Як математика допомагає ухвалювати рішення
Конспект вебінару Data Scientist в Airbus
Сергій Бобровський — Data Scientist у відділенні AI Platforms в Airbus і лектор нашого курсу «Математика та статистика для Data Science». На своєму вебінарі Сергій розповів, які підходи до розуміння математики існують, як ця наука допомагає нам у житті та до чого тут «чорний лебідь». Ділимося основним.
Що таке математика
Що таке математика? На це філософське запитання немає простої відповіді. Є чотири ключові концепції:
#1. Математика — це інший світ
#2. Математика — це логіка
#3. Математика — це конструкція, яку створили самі математики
#4. Математика — це гра
Інший світ
Перша концепція — це погляд філософа Платона. Він вважав, що математики досліджують інший світ, світ ідей. Коли ми доводимо теорему, то поводимося як першовідкривачі, бо світ математики вже існує.
Довгий час схилялися до думки, що люди самі відчиняють двері в інші світи.
Логіка
Тенденцією XIX–XX століть став відхід від платонізму. З розвитком формальної логіки вчені дійшли висновку, що насправді математика — це раціональне мислення. Вона зводиться до логіки — дослідження того, як з одних тверджень можна виводити інші. Одним із засновників цього підходу був Бертран Рассел.
Формальна логіка гарантує, що якщо передумови істинні, то фінальне твердження також буде істинним.
Але з часом виявилося, що все не так просто.
Рассел вважав, що правда передумов гарантує правду наслідків. Якщо ми можемо знайти всі прості аксіоми математики, то здатні вивести всі результати за допомогою логіки. Насправді виявилося, що не всі теореми можна побудувати на основі аксіом.
Конструкція
Противниками школи Рассела були інтуїціоністи (послідовники професора Фрідріха Бауера).
Якщо платоністи вірять, що математики відкривають світ, який і без них існує, то прихильники інтуїціонізму думають, що самі математики конструюють свої результати. Тобто ми самі створюємо правдиві результати на основі аксіом, і математика — це просто конструкція.
Гра
Один із видатних математиків Давид Гільберт вважав, що математика — це доволі складна гра. Математики грають за певними правилами, оперуючи символами (як у настільних іграх). Прямий сенс має тільки елементарна арифметика (те, що ми можемо порахувати на пальцях). Все інше — це ігрова система, яка закрита в собі. Якщо ви граєте за правилами, то завжди прийдете до цікавих результатів. Але ви вільні робити те, що хочеться. Тому не потрібно вкладати в математику філософію. Математика — це лише гра, правила якої ми придумали самі.
Серед сучасних математиків є послідовники всіх чотирьох шкіл.
Чому математика важлива
Математика є скрізь. Увесь прогрес, якого ми досягли, став можливим, бо ми почали використовувати математику.
Американський фізик Юджин Вігнер у своїй статті «Незбагненна ефективність математики в природничих науках» намагався зрозуміти, чому якісь написані формули реально впливають на те, що відбувається у світі. Але універсальної відповіді на це запитання немає.
Як же математика моделює наші стосунки? Розглянемо на прикладі.
Ви зробили собі гарячу каву і хотіли б додати молоко, але вам зателефонували, і ви не випили каву одразу. Запитання: коли краще додати молоко до кави: одразу чи перед тим, як питимете?
Опишемо це математично. Нас цікавить температура кави в кожен момент часу. Ми спостерігаємо, що охолодження залежить від різниці температур. Тобто, якщо залишити рідину кімнатної температури на столі, вона майже не охолоджується. Гаряче ж охолоджується дуже швидко.
Складемо диференціальне рівняння зміни температури з часом. Розв’язання цього рівняння призводить до експоненціального охолодження.
Тобто температура кави в будь-який момент часу — це різниця між початковою температурою і температурою оточення, і ця температура експоненціально падає з часом. Коли t наближається до нескінченності, кава охолоджується до кімнатної температури.
Якщо я додам молоко на початку, температура кави падає в момент змішування, я отримую 32,5 градуса. Потім я чекаю й отримую 24 градуси.
Якщо я додам молоко не одразу, а почекаю, то в підсумку отримаю холоднішу каву з молоком — 20 градусів.
Висновок: краще відразу додати молоко, якщо ви не хочете пити холодну каву.
Відомі помилки мислення
Одна з проблем нашої свідомості полягає в тому, що ми сприймаємо ймовірність як якусь незмінну константу, закріплену за тим чи іншим результатом. Але насправді часто є сенс думати про ймовірність як про ступінь довіри тій чи іншій події, яка може змінюватися, коли ми дізнаємося нові факти.
Помилка того, хто вижив
Коли під час Другої світової війни вирішували, яку частину літака зміцнювати бронею, то досліджували, в які місця вцілілих літаків частіше влучали снаряди.
Але виявилося, що пробоїни — не в тих місцях, які треба зміцнювати, а в тих, влучання в які шкодить літаку найменше. Бронювати ж потрібно ті частини вцілілих літаків, де немає жодного влучання. Бо всі літаки з отворами в цих «білих» місцях розбилися.
Тобто якщо ми ґрунтуємо свої рішення на даних, отриманих від «тих, хто вижив», то можемо дійти хибних висновків, тому що в нас недостатньо інформації про «загиблих». Наприклад, ми знаємо історії знаменитостей і думаємо, що маємо поводитися, як вони, щоб досягти успіху. Але є безліч людей, які роблять те саме, що й успішні, але не досягають нічого. Однак про них ми знаємо недостатньо. Ми бачимо тільки траєкторії переможців.
Помилка гравця
Якщо під час гри в рулетку багато разів поспіль випадає червоне, то відвідувачеві казино здається, що збільшується ймовірність чорного (і навпаки). Але насправді це не так.
Одного разу в Монте-Карло кулька 26 разів поспіль потрапила на чорне, і в результаті гравці втратили величезні гроші, бо вже після 10 кидків були впевнені, що має випасти червоне.
Помилка базового відсотка
Якщо на 2,8 млн людей припадає 100 терористів і є система їхнього пошуку, яка помиляється в 1% випадків, то коли система б’є на сполох, тільки в 0,3% випадків зазначена нею людина дійсно буде терористом. Але нам здається, що 1% похибки — це дуже мало, а отже, система має бути точною. Така сама ситуація з тестами на захворювання — їхня точність насправді залежить від поширеності захворювань.
Багато моїх прикладів пов’язані з книгою нобелівського лауреата Даніеля Канемана «Думай повільно, вирішуй швидко». У ній зазначено, що в нас є дві системи ухвалення рішень. Одна — швидка й автоматична, нам не потрібно напружуватися, щоб її задіяти. А для другої, навпаки, потрібно зосереджуватися, проводити обчислення і докладати зусиль. Часто, коли нам здається, що ми використовуємо систему 2, насправді ми застосовуємо систему 1, бо заощаджуємо енергію, увагу та час. У багатьох випадках це правильний підхід: він дає нам змогу швидко реагувати на навколишні небезпеки.
Але в сучасному світі безліч небезпек мають складнішу природу, особливо коли ми говоримо про фінансові ризики. Тому важливо вміти не довіряти самому собі, намагатися не зупинятися на рішенні, яке дає перша система.
Проблему втрат дуже легко розв’язувати, коли вона пов’язана з монетарними втратами. Але якщо пов’яжемо втрати з психологією, то виявиться, що наша психологія втрат не зовсім раціональна — ми боїмося втрат більше, ніж радіємо виграшам. Через це ми часто намагаємося мінімізувати втрати, а не максимізувати виграш. Тобто кілька разів втратити по $10 нам важче, ніж один раз виграти $100.
Радять мати власну політику ризику — заздалегідь вирішити, з якою втратою в середньому я можу жити, і завжди використовувати її. Наприклад, ніколи не купувати додаткові страховки. Завжди краще думати як торговці цінними паперами, які намагаються дивитися на середній виграш: you win a few — you lose a few. Головне — вигравати досить часто. Програвати іноді — це нормально
Друга книга, яку я хочу порекомендувати, — «Чорний лебідь» Нассіма Талеба. Якщо її прочитати, може здатися, що вона суперечить тому, про що я тут говорю. Тому що надмірне використання математики призводить до ілюзії контролю за подіями.
Уявімо, що індик живе на фермі, його годують щодня смачною їжею, і він, відштовхуючись від цієї інформації, розраховує, скільки їжі отримає в майбутньому. Але не бере до уваги, що скоро День подяки, а отже, його заріжуть.
Тобто всі теорії мають своє коло застосування і передумови. Не часто, але відбуваються події, яких ми не очікуємо. Тому математику потрібно застосовувати дуже обережно і розуміти, коли вона діє, а коли — ні.
Багато прикладів, які я показав, — це приклади простих ігор. Вони можуть відвести нас від правильного мислення. Нам не варто завжди мислити певними правилами, які вивчили. Концепцію ймовірностей потрібно сприймати як ступінь довіри до події, яка може змінитися, і тоді теорія ймовірностей допоможе в ухваленні рішень.
Висновки: як використовувати математику під час ухвалення рішень
- Будьте дуже обережними, коли ухвалюєте рішення, пов’язані з імовірностями. Наше тіло радитиме швидкі, але часто неправильні рішення.
- Приділіть час і проаналізуйте ситуацію. Використовуйте математику, у цьому вам допоможе теорема Баєса.
- Думайте про ймовірності як про ступінь знання або незнання ситуації. Імовірності можуть змінюватися після отримання нової інформації.
- Не узагальнюйте маленькі вибірки. Якщо у вас є приклад п’яти осіб, не поширюйте його на всю популяцію.
- Вирішіть для себе, який рівень ризику для вас комфортний, і завжди дотримуйтеся його.
- Пам’ятайте, що навіть рідкісні події іноді трапляються.
